 |
 |
|||||
|
 |
|
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменнойсо значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .) Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них. 1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости. 2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот. 3. - показательная функция. По определению , т.е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера: ; ; ; Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: , 4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . , 5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна. 6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ; ; 7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно: , Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Задачи с решением. 1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , , Решение. По определению, ,, ; если , то очевидно, , , , , , , , , , , Найти суммы: 1) 2) Решение. Пусть: , а . Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: ; Преобразуя, получим: , 3. Доказать, что: 1) 2) 3) 4) Доказательство: 1) По определению, 2) 3) ; Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ; Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим: , , ,
Напомним, что 2) , ,
3) , , , . Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ; Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь: ; ; ; ; ; Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ; 2) ; 4) ; 6) ; Решение. По определению, , 1), , ,
2) , , ,
3) , , , 4), , ,
5), , ,
6), , , Найти все значения следующих степеней: 1) ; 2) ; 3) ; 4); Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой 1) 2) 3) 4) . 8. Доказать следующие равенства: 1) ; 2) ; 3) Доказательство: 1) , если , или , откуда , или . Решив это уравнение, получим , т.е. и 2) , если , откуда , или , следовательно, , 3) , если , откуда , или . Отсюда , следовательно,
|
| Партнеры: |
|
|